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数量关系----巧解不定方程

2018-01-24 10:21:09
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方程法是解决数量问题最常用手段,在历年国考、联考等各类考题中经常涉及。随着数量关系难度不断增加,方程问题逐渐由定方程问题变成不定方程问题。不定方程问题指的是未知数个数多于方程个数,通过解方程无法直接得到结果的方程问题。虽然现在解不定方程的方法比较多,但是多数比较复杂,且并不通用。

  而我们如果巧妙运用奇偶特性、尾数特性是解数量关系常用的技巧,将数字特性应用到一些复杂的数量问题中,会使得问题变得简单。

  奇偶特性经常会考到以下几点:

  1 奇数+/-奇数 =偶数

  2 偶数+/-奇数 = 奇数

  3 偶数+/-偶数 = 偶数

  4 两个数的和为奇数/偶数,那么这两个数的差也为奇数/偶数,反过来也成立。

  尾数特性则一般是指利用数字末位不同的特点,不计算具体数字而排出或者直接得到答案。

  【例题1】(国考-2012-68)某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人平均地分给各个老师带领刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只保留了四名钢琴师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?()。

       A. 36                B. 37

       C. 39                D. 41

  【答案】D

  【解析】读完这道题,最直接的想法就是列方程来求解,设每位钢琴老师带学生人数为x,每位拉丁舞老师带学生人数为y,由题意可知:5×x+6×y=76。这之后发现不能列出其他的方程,虽然知道每位教师带的人数为质数,但质数个数较多,逐个代入过于耗时。此时,可以尝试利用数字特性来求解。由于76为偶数,6×y也为偶数。根据奇偶特性可以知道5×x也必须是偶数。因此,x必须是一个偶数。而既是质数又是偶数的数只有2,因此x只能取2。将x=2带入方程,求得y为11.。接着,可以求出剩下的学生人数为:4×2+3×11=41(人)。

  这道题目乍一看是个不定方程问题,无法求出具体的数值。但经过认真审题,结合了奇偶特性后,可以发现x和y的值都是可以具体求出的。本题考点主要集中在奇偶特性上。逐个代入在这里不可取。

  【例题2】(国考-2012-76)超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好能装完,问两种包装盒相差多少个?()。

  A. 3                      B. 4

  C. 7                      D. 13

  【答案】D

  【解析】直观的想法仍然是列方程求解,可以将大包装盒设为x个,小包装盒设为y个,由题意容易得知12×x+5×y=99。与上题类似,题中只是告知了包装盒总数为十几个,而没有说清楚有十几个,逐个代入仍然比较麻烦。本题仍然可以从数字特性入手。首先99为一个奇数,而12×x为偶数。由奇偶特性可知5×y应为奇数,所以y必须取奇数,这样就可以排除B选项。另外由于5×y的尾数只能是0或者5,但由于y为奇数,所以5×y尾数必为5。而12×x+5×y的尾数为9,所以12×x的尾数应该为4, 因此x只能取2或7才能满足题意。将x=2代入,可以求出y取值为15,此时符合题中所说的总共用了十多个包装盒。之后可以求出两个包装盒个数差了13。因此本题选D。

  这道题目直接看是个不定方程问题,给的条件比较少,挨个代入测试,会浪费大量时间,直接利用奇偶特性可以帮我们排除一个答案,利用尾数特性可以帮我们最终锁定答案。


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