2023年事业单位备考技巧：数学运算方法技巧容斥问题
2023-04-26 15:51:18 来源：旺黔诚·大树职教
一、两集合容斥
两集合容斥问题： 公式：总个数－都不满足的个数=满足A的个数＋满足B的个数－AB都满足个数 注意：并非每题都有“都不满足的个数” 方法：公式法、画图法
【例1】某班学生总数为32人，第一次参加文娱晚会的有26人，第二次参加文娱晚会的有24人。若两次文娱晚会中都没有参加的学生有4人，则两次都参加文娱晚会的有( )人?
A.22 B.18
C.30 D.20
【答案】A
【解析】本题考查容斥原理，属于二集合容斥类，用公式法解题。学生总数为32人，第一次参加有26人、第二次参加有24人、两次都没参加的学生有4人，设两次都参加的人数为x，代入二集合标准型核心公式32-4=26+24-x，解得x=22(人)。因此，选择A选项。
二、三集合问题
三集合容斥问题： 标准公式： 总个数－都不满足的个数=A＋B＋C－（AB＋AC＋BC）＋ABC 非标准公式： 总个数－都不满足的个数=A＋B＋C－②－2×③ （其中②表示只满足两种的个数之和；③表示三者都满足的个数）
【例2】31个学生参加体育课期末考评，学生可以从铅球、100米短跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、100米和跳远的人数分别是15人、22人、20人，其中铅球和100米短跑参加的有9人，铅球和跳远都参加的有6人，则100米短跑和跳远都参加的有几人?
A.10 B.12
C.15 D.11
【答案】D
【解析】根据容斥原理公式，设参加短跑和跳远的有x人，31=15+22+20-9-6-x，解得x=11。故选择D。
一、两集合容斥
两集合容斥问题： 公式：总个数－都不满足的个数=满足A的个数＋满足B的个数－AB都满足个数 注意：并非每题都有“都不满足的个数” 方法：公式法、画图法
【例1】某班学生总数为32人，第一次参加文娱晚会的有26人，第二次参加文娱晚会的有24人。若两次文娱晚会中都没有参加的学生有4人，则两次都参加文娱晚会的有( )人?
A.22 B.18
C.30 D.20
【答案】A
【解析】本题考查容斥原理，属于二集合容斥类，用公式法解题。学生总数为32人，第一次参加有26人、第二次参加有24人、两次都没参加的学生有4人，设两次都参加的人数为x，代入二集合标准型核心公式32-4=26+24-x，解得x=22(人)。因此，选择A选项。
二、三集合问题
三集合容斥问题： 标准公式： 总个数－都不满足的个数=A＋B＋C－（AB＋AC＋BC）＋ABC 非标准公式： 总个数－都不满足的个数=A＋B＋C－②－2×③ （其中②表示只满足两种的个数之和；③表示三者都满足的个数）
【例2】31个学生参加体育课期末考评，学生可以从铅球、100米短跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、100米和跳远的人数分别是15人、22人、20人，其中铅球和100米短跑参加的有9人，铅球和跳远都参加的有6人，则100米短跑和跳远都参加的有几人?
A.10 B.12
C.15 D.11
【答案】D
【解析】根据容斥原理公式，设参加短跑和跳远的有x人，31=15+22+20-9-6-x，解得x=11。故选择D。
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